Basiswechselmatrizen einfach erklärt mit Thomas

Eine Basiswechselmatrix ist ein mathematisches Werkzeug, das uns erlaubt, Vektoren zwischen verschiedenen Koordinatensystemen zu überführen.In der Standardbasis haben wir die bekannten Einheitsvektoren e1 und e2.Eine neue Basis besteht aus zwei anderen linear unabhängigen Vektoren v1 und v2.Diese neue Basis kann anders ausgerichtet sein als die Standardbasis.Die Basiswechselmatrix T enthält die Informationen, wie die neue Basis in der alten Basis dargestellt wird.Die Spalten der Matrix T sind die Koordinaten der neuen Basisvektoren bezüglich der alten Basis.Mit der Basiswechselmatrix können wir jeden Vektor von einer Basis in die andere überführen.To calculate a basis change matrix, we start by writing our new basis vectors as columns.Here are our new basis vectors v1 and v2.First, we write v1 as a column vector in terms of the standard basis.Then, we write v2 as our second column vector.These columns together form our basis change matrix T.To transform vectors from the new basis back to the standard basis, we need the inverse matrix.Let's see how this works with an example vector x.We start with vector x in standard coordinates.To transform it to the new basis, we multiply by our matrix T.This gives us the coordinates of x in our new basis.Let's look at a concrete example of changing basis with vector a equals (2,3).Our new basis vectors are v1 equals (1,1) and v2 equals (1,-1).The basis change matrix T contains these new basis vectors as columns.To transform our vector from the standard basis to the new basis, we need the inverse matrix T inverse.Now let's calculate the coordinates of vector a in our new basis.First, we multiply the inverse matrix with our vector.This gives us the coordinates two point five and negative zero point five in our new basis.The vector a can now be expressed as two point five times v1 minus zero point five times v2.