Entendiendo la función cuadrática con animaciones simples

Bienvenidos al estudio de las funciones cuadráticas.La función cuadrática tiene una forma característica llamada parábola.Comencemos con la forma más simple: f de x igual a x al cuadrado.El punto más bajo de esta parábola se llama vértice.La parábola es perfectamente simétrica respecto a una línea vertical que pasa por el vértice.Cuando a es positivo, la parábola abre hacia arriba.Cuando a es negativo, la parábola abre hacia abajo.Un valor de a más cercano a cero hace que la parábola sea más ancha.Mientras que un valor de a más grande hace que la parábola sea más estrecha.Esta forma básica de la parábola es fundamental para entender todas las transformaciones que veremos más adelante.Veamos los puntos donde nuestra parábola intersecta con los ejes coordenados.Esta parábola corta al eje X en dos puntos, las raíces de la ecuación cuadrática.El punto de intersección con el eje Y corresponde al término independiente c, en este caso -2.El número de intersecciones con el eje X depende del discriminante de la ecuación cuadrática.Cuando el discriminante es cero, la parábola es tangente al eje X, teniendo una raíz doble.En este caso, el punto de tangencia es una raíz doble en x igual a cero.Cuando el discriminante es negativo, la parábola no intersecta con el eje X.Sin embargo, la intersección con el eje Y siempre existe y es única, determinada por el término independiente c.Resumamos los tres casos posibles según el valor del discriminante.Observemos cómo el coeficiente 'a' afecta la abertura de la parábola.Ahora veamos cómo el término 'b' desplaza la parábola horizontalmente.El término independiente 'c' desplaza la parábola verticalmente.Veamos una aplicación práctica: la trayectoria de un proyectil.La trayectoria forma una parábola debido a la acción de la gravedad.Otra aplicación: encontrar el área máxima de un rectángulo con perímetro fijo.El área en función del ancho forma una parábola, cuyo vértice representa el área máxima.