Zeitwert des Geldes und Zinssätze

Die allgemeine Formel für den Barwert eines Zahlungsstroms mit den Zahlungen $C_n$ zum Zeitpunkt $n$ lautet: $BW = \sum_{n=0}^{N} \frac{C_n}{(1 + r)^n}$

Prüfungstipp: Achten Sie bei der Berechnung des Barwerts genau darauf, ob die Zahlungen vorschüssig (am Anfang einer Periode, $t=0$) oder nachschüssig (am Ende einer Periode, $t=1$) erfolgen. Dies verändert den Exponenten in der Formel entscheidend.

Bewertung von Zahlungsreihen (Renten)

In der Praxis erhalten oder zahlen wir oft nicht nur einen einmaligen Betrag, sondern eine Serie von regelmäßigen Zahlungen. Diese nennt man Zahlungsströme oder Renten.

Annuitäten und ewige Renten

Es gibt verschiedene Arten von Renten, die wir mathematisch erfassen können:

• Annuität (endliche Rente): Eine Serie von konstanten, regelmäßigen Zahlungen über einen festen Zeitraum $N$.
• Ewige Rente: Eine Serie von konstanten Zahlungen, die für eine unendliche Anzahl an Perioden fortgesetzt wird. Der Barwert einer ewigen Rente ist einfach: $BW(C_{ewig}) = \frac{C}{r}$
• Geometrisch wachsende Cashflows: Hierbei steigen die Zahlungen in jeder Periode um einen konstanten Prozentsatz $g$ an.

Für eine geometrisch wachsende ewige Rente gilt (sofern $r > g$): $BW_{geometrisch\_ewig} = \frac{C}{r - g}$

Praxisbeispiel: Die Entscheidung über ein Studiendarlehen

Stellen Sie sich vor, Sie müssen ein zinsloses Darlehen von 10.000 € zurückzahlen. Sie haben zwei Optionen:

• Option A: Sofortige Ablösung durch Zahlung von 7.500 € heute.
• Option B: Zehn nachschüssige Jahresraten zu je 1.000 €.

Um zu entscheiden, nutzen wir einen Kalkulationszinssatz von $r = 4,%$ (Ihre sichere Alternative für das Geld).

Berechnung für Option B: Wir nutzen die Formel für den Barwert einer Annuität: $BW(B) = C \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-N}}{r}$ $BW(B) = 1.000\,\text{€} \cdot \frac{1 - (1,04)^{-10}}{0,04} \approx 8.110,90\,\text{€}$

Ergebnis: Da die sofortige Ablösung (7.500 €) günstiger ist als der Barwert der Raten (8.110,90 €), sollten Sie Option A wählen. Der Barwertvorteil beträgt 610,90 €.

Wichtig: Ein höherer Kalkulationszins senkt den Barwert zukünftiger Zahlungen. Wenn Ihr Zinssatz 6 % statt 4 % betragen hätte, wäre der Barwert der Raten auf 7.360,09 € gesunken, und die Ratenzahlung wäre plötzlich die günstigere Option gewesen.

Unterjährige Verzinsung und die Zinsstrukturkurve

Nicht alle Zinsen werden jährlich berechnet. Wenn Zahlungen mehrmals pro Jahr erfolgen, müssen wir zwischen dem nominalen Jahreszinssatz ($r_{nom}$) und dem effektiven Jahreszinssatz ($r_{eff}$) unterscheiden. Der effektive Zins berücksichtigt die Zinseszinsen innerhalb des Jahres: $1 + r_{eff} = \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^m$ wobei $m$ die Anzahl der Teilperioden pro Jahr ist.

Zuletzt spielt die Zinsstrukturkurve eine Rolle. In der Realität ist der Zinssatz oft nicht für alle Laufzeiten gleich. Die Beziehung zwischen der Laufzeit und dem Zinssatz wird als Laufzeitstruktur der Zinssätze bezeichnet. Wenn wir einen Zahlungsstrom mit unterschiedlichen Laufzeiten bewerten, verwenden wir für jeden einzelnen Cashflow den spezifischen Zinssatz aus der Zinsstrukturkurve, der seiner Laufzeit entspricht.

$BW = \sum_{n=1}^{N} \frac{C_n}{(1 + r_n)^n}$