Introduction aux ensembles de nombres réels

On distingue plusieurs types d'intervalles selon que les bornes sont incluses ou non :

• Intervalle fermé : $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$. Les bornes $a$ et $b$ font partie de l'ensemble.
• Intervalle ouvert : $]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$. Les bornes sont exclues.
• Intervalles semi-ouverts : $[a, b[$ (fermé en $a$, ouvert en $b$) ou $]a, b]$ (ouvert en $a$, fermé en $b$).
• Intervalles infinis : $[a, +\infty[$, $]-\infty, b]$, etc.

Propriété importante : L'intersection de deux intervalles est toujours un intervalle, mais la réunion de deux intervalles n'est pas nécessairement un intervalle. Par exemple, $[-1, 3] \cup [4, 5]$ n'est pas un intervalle car il manque les nombres entre 3 et 4.

Valeur absolue, Distance et Voisinages

La valeur absolue

La valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$, représente sa "taille" sans tenir compte de son signe : $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Distance et Voisinage

La valeur absolue permet de définir la distance entre deux nombres réels $x$ et $y$ par la formule : $d(x, y) = |x - y|$

À partir de cette notion de distance, on définit un voisinage. Un intervalle ouvert $B(x, r)$ de centre $x$ et de rayon $r > 0$ est défini par : $B(x, r) = \{y \in \mathbb{R}, |y - x| < r\} = ]x - r, x + r[$

On dit qu'une partie $V$ de $\mathbb{R}$ est un voisinage d'un point $x_0$ s'il existe un intervalle ouvert centré en $x_0$ qui est entièrement contenu dans $V$.

Opérations et structures algébriques

L'ensemble $\mathbb{R}$ est muni de deux opérations principales, l'addition ($+$) et la multiplication ($\times$), qui respectent des règles précises :

1. L'addition est associative, commutative, possède un élément neutre ($0$) et chaque élément possède un opposé ($-x$).
2. La multiplication est associative, commutative, possède un élément neutre ($1$) et chaque élément non nul possède un inverse ($x^{-1}$ ou $\frac{1}{x}$).
3. La distributivité : La multiplication est distributive par rapport à l'addition : $x(y + z) = xy + xz$.

Relations et Ordre

Une relation sur un ensemble $E$ est une manière de lier des éléments de cet ensemble entre eux.

Types de relations

• Relation d'équivalence : Elle est réflexive ($xRx$), symétrique ($xRy \Rightarrow yRx$) et transitive ($xRy \text{ et } yRz \Rightarrow xRz$).
• Relation d'ordre : Elle est réflexive, antisymétrique ($xRy \text{ et } yRx \Rightarrow x = y$) et transitive.

Ordre total vs Ordre partiel

Une relation d'ordre est dite totale si tous les éléments de l'ensemble sont comparables (pour tout $x, y$, on a $x \le y$ ou $y \le x$).

• L'ensemble $\mathbb{R}$ est un ensemble totalement ordonné par la relation $\le$.
• À l'inverse, dans certains ensembles comme les parties d'un ensemble avec l'inclusion ($\subset$), l'ordre peut être partiel : deux éléments ne sont pas forcément comparables.

Note sur la compatibilité : La relation d'ordre dans $\mathbb{R}$ est compatible avec l'addition ($x \le y \Rightarrow x + z \le y + z$) et avec la multiplication par un nombre positif ($x \le y \text{ et } z \ge 0 \Rightarrow xz \le yz$).

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Résumé des concepts clés :

• $\mathbb{R}$ est la réunion des rationnels et des irrationnels.
• L'intervalle est la brique de base des sous-ensembles de $\mathbb{R}$.
• La valeur absolue définit la distance et permet de parler de voisinage.
• L'ordre dans $\mathbb{R}$ est total et compatible avec les opérations de base.