Calcul des Efforts Internes en Résistance des Matériaux

1. $\sum F_x = 0$ (Somme des forces horizontales)
2. $\sum F_y = 0$ (Somme des forces verticales)
3. $\sum M_A = 0$ (Somme des moments par rapport à un point $A$)

Prenons l'exemple d'une poutre de 6 mètres soumise à une charge triangulaire de 9 tonnes. Pour résoudre ce cas, nous identifions les inconnues (par exemple $V_A$, $V_B$ et $H_B$) et appliquons les équations pour isoler chaque force.

3. Les trois types d'efforts internes

Pour connaître l'état de sollicitation en n'importe quel point d'une barre, on procède par la méthode de la coupure fictive. On imagine une section à une distance $x$ de l'origine et on étudie l'équilibre de la partie isolée. On distingue trois types d'efforts :

L'effort normal ($N$)

Il représente les forces agissant selon l'axe longitudinal de la barre. Il traduit les phénomènes de traction ou de compression. Dans le cas d'une poutre soumise uniquement à des charges verticales, l'effort normal est souvent nul ($N = 0$).

L'effort tranchant ($T$)

Il correspond aux forces perpendiculaires à l'axe de la barre. L'effort tranchant est responsable du cisaillement du matériau. Mathématiquement, il est lié à la charge répartie $q(x)$ par la relation : $\frac{dT}{dx} = -q(x)$

Le moment fléchissant ($M$)

Il traduit la tendance de la barre à se courber (flexion). La relation fondamentale reliant le moment à l'effort tranchant est : $\frac{dM}{dx} = T(x)$

Il est crucial de noter que si la charge $q(x)$ est une fonction de degré $n$, l'effort tranchant $T(x)$ sera de degré $n+1$ et le moment fléchissant $M(x)$ sera de degré $n+2$.

4. Exemple d'application : Charge linéairement variable

Considérons une poutre de 6 m avec une charge triangulaire $q(x)$ telle que $q(x) = 1,5x$.

1. Calcul de l'effort tranchant $T(x)$ : En intégrant la charge, on obtient une expression de type polynomiale. Pour notre exemple : $T(x) = 9 - 0,75x^2$ On remarque que la dérivée seconde $\frac{d^2T}{dx^2} = -1,5 < 0$, ce qui indique une allure de courbe concave.

2. Calcul du moment fléchissant $M(x)$ : En intégrant $T(x)$, on obtient : $M(x) = -0,25x^3 + 9x$ Pour trouver le moment maximal ($M_{max}$), on cherche le point où l'effort tranchant s'annule ($\frac{dM}{dx} = 0$) : $-0,75x^2 + 9 = 0 \implies x = \sqrt{\frac{9}{0,75}} \approx 3,46 \text{ m}$ En remplaçant $x$ dans l'expression de $M(x)$, on trouve $M_{max} = 20,78 \text{ t.m}$.

5. Tracé des diagrammes des efforts internes

La dernière étape consiste à représenter graphiquement ces fonctions. Les diagrammes permettent de visualiser instantanément les zones de contraintes maximales.

• Le diagramme de $N(x)$ : Souvent une ligne horizontale si $N=0$.
• Le diagramme de $T(x)$ : Montre les zones de cisaillement important, notamment près des appuis.
• Le diagramme de $M(x)$ : Sa forme est dictée par la charge. Pour une charge répartie, il est parabolique ; pour une charge triangulaire, il est cubique.

Figure : Représentation des diagrammes de l'effort normal, tranchant et du moment fléchissant pour l'exercice étudié.

Point critique : Le moment fléchissant maximal se situe toujours à l'endroit où l'effort tranchant traverse l'axe zéro. C'est ce point qui dictera généralement la section nécessaire pour la poutre.