Ejercicios de Cálculo Integral Paso a Paso

Bienvenidos a los fundamentos de la integración. Empecemos con los conceptos básicos.La integración es la operación inversa de la derivada. Esto significa que si derivamos una función y obtenemos otra, la integral nos permite regresar a la función original.Veamos las reglas fundamentales de la integración que necesitaremos dominar.La regla más básica es la integral de una potencia. Para x elevado a n, sumamos uno al exponente y dividimos por ese nuevo exponente.Para la función exponencial e a la x, su integral es ella misma.El seno integra a menos coseno.Y el coseno integra a seno.Veamos un ejemplo práctico. Resolveremos la integral de x al cuadrado.Aplicamos la regla de las potencias. El exponente es 2, así que sumamos 1 para obtener x al cubo.Simplificando, obtenemos x al cubo sobre 3 más la constante de integración.Esta es la representación gráfica de nuestra función integrada. Observa cómo la curva representa x al cubo sobre 3.Estos fundamentos son la base para técnicas más avanzadas que veremos en las próximas secciones.Para resolver integrales más complejas, usamos la técnica de sustitución. Veamos este ejemplo:El primer paso es identificar una sustitución adecuada. Observamos que x² aparece como argumento de coseno.Calculamos du diferenciando u respecto a x. Esto nos da dos x dx.Despejamos dx en términos de du y x.Al sustituir en la integral original, observa cómo se simplifica la expresión.Ahora podemos integrar fácilmente respecto a u.Finalmente, sustituimos de vuelta x² por u para obtener nuestra respuesta final.Es importante reconocer cuándo usar la sustitución. Aquí hay algunos patrones clave:Aquí hay más ejemplos donde la sustitución es la técnica adecuada. Observa cómo en cada caso, una parte de la expresión es la derivada de otra.Integration by parts is based on the product rule of differentiation.When choosing which part to make u and which to make dv, we follow the LIATE rule.Let's solve this integral: x times natural log of x dx.Following LIATE, we choose u equals natural log of x since it's logarithmic, and dv equals x dx.Now we apply the formula. The integral becomes x squared over 2 times natural log of x, minus the integral of x squared over 2 times one over x dx.Simplify the second integral to x over 2 dx.Finally, integrate to get x squared over 2 natural log of x minus x squared over 4 plus C.Let's verify our answer by differentiating the result.Using the product rule and chain rule.Simplify the terms.And we get back our original function, confirming our solution is correct.We'll solve this integral using partial fractions decomposition.First, we factor the denominator into linear terms.Now we decompose the fraction into simpler terms with unknown coefficients A and B.Multiply both sides by the denominator to eliminate fractions.Expand and collect like terms.Compare coefficients to create a system of equations.Solving this system, we find that A equals one-half and B equals three-halves.Substituting these values back gives us our decomposed integral.We can now integrate each term separately using the natural logarithm.Our final answer is one-half natural log of absolute x plus one, plus three-halves natural log of absolute x minus one, plus C.